Некоторые новые задачи теории потенциала

Б.П. Кондратьев
 Удмуртский госуниверситет, г. Ижевск

      Нахождение притяжения и гравитационной энергии тел в астрономии представляет собой одну из самых важных задач. Ряд новых методов в теории потенциала был разработан в [1] и особенно в [2]. 
I.	Весьма продуктивным направлением является представление внешнего ньютоновского потенциала объёмных тел, имеющих азимутальную симметрию, с помощью круговых дисков и одномерных стержней. Такие стержни имеют, как правило, чисто мнимое распределение плотности, хотя их масса и гравитационное поле являются реальными. Основным элементом является представление потенциала однородного круглого диска с помощью мнимого стержня с распределением плотности
                                                                                                         (1) Это позволяет, в частности, решить сложную задачу о внешнем потенциале такого диска
                                 (2) где 
                                                                                        (3) 
       Доказана
       Теорема. Для однородного осесимметричного тела плотность распределения гравитирующего вещества в точке ζ на одномерных замещающих стержнях даётся интегралом
                                                                                                         (4) где  задаёт контур фигуры, а пределы интегрирования находятся из некоторых дополнительных условий. 
       Формула (4) позволяет найти эквигравитирующие стержни для многих объёмных тел. Так, для сфероида плотность стержня равна 
                                                                                                          (5) Шаровой сегмент имеет стержень с плотностью 
                                                                                                    (6) 
     Для нахождения стержней применяется также методы теории функций комплексного переменного. С помощью модифицированного интеграла Коши выводится формула
                                                                                                                (7) где через  обозначены значения потенциала на разных ветвях стягиваемого контура. Данный метод является практически наиболее часто применяемым. 
    Для астрономии важным является применение данной теории для вычисления потенциалов различных неоднородных плоских дисков. Доказана
    Теорема. Одномерным эквигравитирующим телом для диска с плотностью  является стержень «длиной»  с мнимой линейной плотностью
                                                                                        (8)
     Возможен переход от стержня к эквигравитирующему диску
                                                                                                             (9)
     Диски могут существовать только для тел с экваториальной плоскостью симметрии, а значит – только для стержней с симметричным относительно центра распределением массы. Так, для диска с плотностью 
                                                                                                       (10) эквигравитирующий стержень имеет плотность
                                                                             (11)
II.     В теорию вводится понятие обобщённых софокусных преобразований. Дан эллипсоид с внутренней стратификацией 
                                                                        (12) Промежуточная поверхность  имеет, следовательно, квадраты полуосей
                                                                                                      (13) Выполним теперь такое преобразование этой промежуточной поверхности в другую эллипсоидальную поверхность, при котором новые квадраты полуосей  будут равны
                                                                     (14) Очевидно, что фокусы поверхности окажутся совпадающими с фокусами новой поверхности  Поэтому преобразование (14) для краткости  назовём софокусным. Подчеркнём, что здесь расширяется понятие обычных софокусных преобразований на эллипсоидальные оболочки самого общего вида
Теорема. Важнейшим свойством двух элементарных оболочек, связанных преобразованием (14), является то, что при одинаковой массе они имеют во внешнем пространстве один и тот же ньютоновский потенциал, т.е. такие софокусные в  обобщённом смысле оболочки являются эквигравитирующими. 
     Методом софокусных преобразований  найдены эквигравитирующие диски и стержни для слоисто-неоднородных сфероидов с распределением плотности 
                                                                  (15)
                                                             (16) Пример. Для сфероида с плотностью 
                                                                                                                           17) хорошо моделирующего при соответствующем β распределение поверхностной яркости в Е-галактиках, заменяющие диск и стержень имеют плотности
                                                                                                                 (18)
                                                                                      (19)

III.   Использование классической формулы для вычисления гравитационной энергии
                                                                                                                                   (20)
 на практике редко приводит к цели. Причина затруднений ясна: в конечной аналитической форме даже сам потенциал известен лишь для немногих тел; следующий же шаг - нахождение
потенциальной энергии тела – предполагает ещё и вычисление объёмных интегралов, под знаком которых стоит этот потенциал или его производные. К тому же, потенциальная  энергия не относится к величинам, аддитивным по массе (заряду), и даже зная энергию тела в целом, нельзя ничего сказать об энергии его отдельных частей (справедливо и обратное!). Например, гравитационная энергия  однородного цельного шара хорошо известна. Но любая попытка найти, опираясь на обычные подходы, энергию какой-либо части того же шара, будь то сегмент или шаровой слой, оказывается уже совершенно безрезультатной. Итак, известные методы позволяют найти W лишь для однородных шаров и эллипсоидов.
           Но во Вселенной существуют тела и другой формы и, вдобавок, неоднородные. Сложную форму имеют, например, астероиды. А как поступать, если требуется знать потенциальную энергию слоёв, лежащих на телах сложной формы?  Чтобы преодолеть  кризисную ситуацию, нужны новые идеи и методы в этой трудной области математической  физики. В [2] представлено двенадцать новых методов нахождения потенциальной энергии  объёмных тел, а также несколько специальных методов для двумерных фигур и  для тел с логарифмическим потенциалом. Отдельно изучаются слои и  двумерные фигуры.  Каждый из методов решает определённый класс задач. К тому же, важен контроль результатов, полученных разными методами. Большинство задач можно решить только новыми методами.
В основе нескольких методов лежит новая формула [2]
,                                                                                                                          (21) где интегрирование проводится уже по поверхности однородной фигуры. Она заменяет обычную формулу (20), основанную на объёмном интегрировании.

[1] Кондратьев Б.П. Динамика эллипсоидальных гравитирующих фигур. Москва, Наука, 1989.
[2] Кондратьев Б.П. Теория потенциала и фигуры равновесия. Москва-Ижевск: РХД, 2003.